基礎数学例

$(9, - 2)$ , $(- 5, - 6)$

ステップ 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

Find the dot product.

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ステップ 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot - 5 - 2 \cdot - 6$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$9$ に $- 5$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 45 - 2 \cdot - 6$

ステップ 2.2.1.2

$- 2$ に $- 6$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 45 + 12$

ステップ 2.2.2

$- 45$ と $12$ をたし算します。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 33$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$9$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{81 + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 4}$

ステップ 3.2.3

$81$ と $4$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{85}$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 6)}^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{25 + {(- 6)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$- 6$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 36}$

ステップ 4.2.3

$25$ と $36$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{61}$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{85} \sqrt{61}})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.1.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{85 \cdot 61}})$

ステップ 6.1.2

$85$ に $61$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{5185}})$

ステップ 6.2

分数の前に負数を移動させます。

$θ = \arccos (- \frac{33}{\sqrt{5185}})$

ステップ 6.3

$\frac{33}{\sqrt{5185}}$ に $\frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}$ をかけます。

$θ = \arccos (- (\frac{33}{\sqrt{5185}} \cdot \frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}))$

ステップ 6.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.4.1

$\frac{33}{\sqrt{5185}}$ に $\frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}$ をかけます。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{\sqrt{5185} \sqrt{5185}})$

ステップ 6.4.2

$\sqrt{5185}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1} \sqrt{5185}})$

ステップ 6.4.3

$\sqrt{5185}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1} {\sqrt{5185}}^{1}})$

ステップ 6.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{2}})$

ステップ 6.4.6

${\sqrt{5185}}^{2}$ を $5185$ に書き換えます。

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ステップ 6.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5185}$ を $5185^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{(5185^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.4.6.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{1}})$

ステップ 6.4.6.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185})$

ステップ 6.5

$\arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185})$ の値を求めます。

$θ = 117.27676338$

基礎数学 例

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